Կ-33-2

Բազմություններ և գործողություններ նրանց հետ

Մաթեմատիկայում բազմություն, տարր, պատկանում է հասկացությունները նախնական և  չեն սահմանվում, դրանք արբերելու համար տրվում են նկարագրությունները։ Բերենք օրինակներ, որոնք կպարզաբանեն դրանց իմաստը։

1․ Բնական թվերի բազմությունը։ 13-ը պատկանում է այդ բազմությանը(այդ բազմության տարր է), իսկ 0․5-ը այդ բազմությանը չի պատկանում (այդ բազմության տարր չէ)։

2․Ռացիոնալ թվերի բազմությունը։ 0․5-ը պատկանում է  այդ բազմությանը(այդ բազմության տարր է), -ը՝ ոչ։

3․   հավասարման լուծումների բազմությունը։ 2-ը պատկանում է այդ բազմությանը, իսկ 3-ը՝ ոչ։

4․ ։ 1,5-ը պատկանում է այդ բազմությանը, 4-ը՝ ոչ։

5․ Հայոց լեզվի այբուբենի բազմությունը։ Զ-ն պատկանում է այդ բազմությանը Z-ը՝ ոչ։

Բազմությունները նշագրվում են լատիներեն մեծատառերով։ Բնական թվերի բազմությունը նշանակում են N-ով, ամբողջ թվերը Z-ով, ռացիոնալ թվերը՝ R-ով, իսկ իրական թվերը C-ով։

 a տարրը պատկանում է  A-ին կնշանակենք a⋲A,  a տարրը չի պատկանում A-ինa⊄Aգրելաձևով։ Բազմությունը, որը տարրեչ չի պարունակում, անվանենք դատարկ բազմություն և այն նշագրենք 𝜙 գրելաձևով։Օրինակ դատարկ բազմություն է հավասարման լուծումների բազմությունը։

Այսպես, օրինակ․ ստույգ է 17⋲N, 2,5⋲R, -7⋲Z, ⊄R, ⋲C, ⊄Z :

Բազմությանն անվանենք վերջավոր, եթե գոյություն ունի բվական թիվ, որ այդ բազմության տարրերի քանակը ճիշտ n հատ է, հակառակ դեպքում բազմությունը կանվանենք անվերջ։ Պայմանավորվենք բազմության տարրերի քանակը նշանակել |A|, կամ n(A):Վերջավոր բազմությունը ներկայացվում է տեսքով, որտեղ -ն բազմության տարրերն են։

Օրինակ  10-ի բաժանվող երկնիշ թվերի բազմությունն է։ Բազմությունները նկարագրելու համար հաճախ կօգտվենք հետևյալ եղանակից։ Եթե -y hհատկություն է, որին բավարարում են A բազմության տարրերը և միայն նրանք, ապա կգրենք , և կարդացվում է A-ն այն x տարրերի բազմությունն է որոնք բավարարում են հատկությանը։Այսպես օրինակ  զույգ թվերի բազմությունն է, իսկ վերը նշված D բազմությունը կարելի էր նկարագրելնաև այսպես՝ :

Կասենք, որ B բազմությունը հանդիսանում է A  բազմության ենթաբազմությունը, եթե B բազնության բոլոր տարրերը հանդիսանում են նաև A-ի տարրերմ կնշագրենք՝ B⋲A, հակառակ դեպքում կասենք որ այն A -ի ենթաբազմություն չէ և կնշագրենք՝ A⊄B: -ով կնշանակենք B բազմության բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը :

Oրինակ․ , =  

Թեորեմ1․ Եթե , ապա :

Ապացուցենք մաթեմատիկական ինդուկցիայի եղանակով։ n=1 կամn=2 դեպքում այն ակնհայտ է։ Ենթադրենք թեորեմի պնդումը ճիշտ է ո-ից քիչ տարր ունեցող բազմությունների համար և դիտարկենք բազմության բոլոր ենթաբազմությոնները` -ն։ տարրը ֆիքսենք և -ն տրոհենք 2 դասի․

1) տարրը պարունակող ենթաբազմություններ,

2․ տարրը չպարունակող ենթաբազմություններ։ Քանի որ տարրը չպարունակող ենթաբազմությունները  բազմության ենթաբազմություն է և հակառակը, ուստի համաձայն ենթադրության 1․ դասի ենթաբազմությունների քանակը է

, մյուս կողմից պարզ է, որ 2․ դասի բազմությունների քանակը ևս 1․ դասի բազմությունների քանակին է հավասար2․ դասի յուրաքանչյուր ենթաբազմություն ստացվում է 1․ դասի ենթաբազմությունից կցելով նրան տարրը, և հակառակը 2․ դասի ենթաբազմությունից ջնջելով տարրը կստանանք 1․ ենթաբազմություն, իսկ բազմության յութաքանչյուր ենթաբազմություն ընկած է կամ 1․ կամ 2․ դասի մեջ, այսինքն բազմության տարրերի քանակը կլինի՝

Պարզ է, որ A,B,C բազմությունների համար ստույգ  է հետևյալ պնդումներից յուրաքանչյուրը

3.Եթե և  ապա

Բինար հարաբերություններ, գործողություններ նրանց հետ

AxB դեկարտյան արտադրյալի αεAxB ենթաբազմությունն անվանում են բինարհարաբերություն A եւ B բազմությունների տարրերի միջեւ: A եւ B
բազմությունները կոչվում են αεAxB բինար հարաբերության հենքային
բազմություններ:
Եթե a∈A եւ b∈B եւ (a,b)∈α, ապա ասում են, որ a-ն մտնում է b-ի հետ բինար
հարաբերության մեջ եւ գրվում է aαb:
Օրինակներ.
1.Փոքր է հարաբերությունը բնական թվերի միջեւ A=B=N, aαb↔a<b:
2. Փոքր է կամ հավասար հարաբերությունը ռացիոնալ թվերի միջեւ A=B=R,
aαb↔a≤b:
aαb↔a-նծանոթ է b-ին եւ այլն:
Դիցուք αεAxB եւ βεAxB: Քանի որ հարաբերությունը դեկարտյան արտադրյալիենթաբազմություն է, ուստի բնական են հետեւյալ սահմանումները.
ա) -ն կանվանենք α հարաբերության լրացում, կամ α-ին հակադիր
հարաբերություն
բ) -ն կանվանենք αևβ հարաբերությունների միավորում
գ) -ն կանվանենք αևβ հարաբերությունների հատում
և

դ) -ն կանվանենք αևβ հարաբերությունների տարբերություն և
ե) կարգավորված զույգի շրջում կանվանենք կարգավորված զույգը, կամ α-ին հակադարձ հարաբերություն(կնշանակենք ) եւ
կանվանենք այն հարաբերությունը, որին պատկանում են α-ի մեջ մտնող զույգերի շրջումները և միայն նրանք :
Պարզ է, որ

Վերը դիտարկված օրինակներում փոքր է հարաբերության շրջումը կլինի մեծ է հարաբերությունը(լրացում հարաբերությունը կլինի մեծ է կամ հավասարը)։Ծնող հարաբերության շրջումը կլինի զավակ հարաբերությունը, բարեկամ հարաբերության շրջումը նույն բարեկամ հարաբերությունն է։

հարաբերության կտրվածք a∈A տարրի նկատմամբ (կնշանակենքα(а)) կանվանենք այն  տարրերի բազմությունը, որոնք a-ի հետ մտնում են  հարաբերության մեջ

Հետևյալ պնդումներում ցանկացած հարաբերություններ են, իսկ

1․

2․

3․

4.( )=

5.

6.( )=

 ,  հարաբերությունների արտադրյալը նշանակենք կանվանենք այն γ հարաբերությունը А  և C բազմությունների տարրերի միջ, որը որոշվում է հետևյալ եղանակով․

γz  գոյություն ունի y B ((x y) և (y z))

 հարաբերությունը սահմանվում է, երբ առաջին՝  հարաբերության երկրորդ հենքային բազմությունը համընկնում է հարաբերերության  հարաբերության  առաջին հենքային բազմության հետ։ Ընդհանուր դեպքում

Օրինակ․ , իսկ      որոշված են

a b a b : Դժվար չէ ստուգել, որ , իսկ :